有限数学示例

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ 重写成 ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ 。

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $x^{4}$ 。

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

解题步骤 3.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

从 $- u^{2} + 12 u - 35$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

解题步骤 3.3.1.2

从 $12 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

解题步骤 3.3.1.3

将 $- 35$ 重写为 $- 1 (35)$ 。

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

解题步骤 3.3.1.4

从 $- (u^{2}) - (- 12 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

解题步骤 3.3.1.5

从 $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

解题步骤 3.3.2

因数。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 12 u + 35$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $35$ ，和为 $- 12$ 。

$- 7, - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

解题步骤 3.3.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

解题步骤 3.5

将 $u - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u - 7$ 设为等于 $0$ 。

$u - 7 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$u = 7$

解题步骤 3.6

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

解题步骤 3.7

最终解为使 $- (u - 7) (u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 7, 5$

解题步骤 3.8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 3.9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 7$

解题步骤 3.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

解题步骤 3.10.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.10.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{7}$

解题步骤 3.10.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{7}$

解题步骤 3.10.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

解题步骤 3.11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 5$

解题步骤 3.12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 5$

解题步骤 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

解题步骤 3.12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.12.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 3.12.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 3.12.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 3.13

$- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 。

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 4

排除不能使 $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ 成立的解。

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

小数形式：

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$

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